Exponentiële verdeling

Wat is exponentiële distributie?

De exponentiële verdeling verwijst naar de continue en constante kansverdeling die feitelijk wordt gebruikt om de tijdsperiode te modelleren die een persoon moet wachten voordat de gegeven gebeurtenis plaatsvindt en deze verdeling is een continue tegenhanger van een geometrische verdeling die in plaats daarvan verschillend is.

Exponentiële distributieformule

Een continue willekeurige variabele x (met schaalparameter λ> 0) zou alleen een exponentiële verdeling hebben als de kansdichtheidsfunctie kan worden uitgedrukt door de schaalparameter te vermenigvuldigen met de exponentiële functie van de minus schaalparameter en x voor alle x groter dan of gelijk aan nul, anders is de kansdichtheidsfunctie gelijk aan nul.

Wiskundig gezien wordt de kansdichtheidsfunctie weergegeven als,

zodanig dat het gemiddelde gelijk is aan 1 / λ en de variantie gelijk is aan 1 / λ2.

Berekening van de exponentiële verdeling (stap voor stap)

  • Stap 1: Ten eerste, probeer erachter te komen of de gebeurtenis in kwestie continu en onafhankelijk van aard is en met een ongeveer constant tempo plaatsvindt. Elke praktische gebeurtenis zorgt ervoor dat de variabele groter is dan of gelijk is aan nul.
  • Stap 2: Bepaal vervolgens de waarde van de schaalparameter, die steevast het omgekeerde is van het gemiddelde.
    • λ = 1 / gemiddeld
  • Stap 3: Vermenigvuldig vervolgens de schaalparameter λ en de variabele x en bereken vervolgens de exponentiële functie van het product vermenigvuldigd met min één, dwz e– λ * x.
  • Stap 4: Ten slotte wordt de kansdichtheidsfunctie berekend door de exponentiële functie en de schaalparameter te vermenigvuldigen.

Als de bovenstaande formule geldt voor alle x groter dan of gelijk aan nul, dan is x een exponentiële verdeling.

Voorbeeld

U kunt dit Excel-sjabloon voor exponentiële distributie hier downloaden - Excel-sjabloon voor exponentiële distributie

Laten we het voorbeeld nemen, x dat de hoeveelheid tijd is (in minuten) die een kantoormedewerker nodig heeft om te bezorgen van het bureau van de manager naar het bureau van de griffier. Aangenomen wordt dat de functie van de genomen tijd een exponentiële verdeling heeft waarbij de gemiddelde tijd gelijk is aan vijf minuten.

Gegeven dat x een continue willekeurige variabele is aangezien de tijd wordt gemeten.

Gemiddeld, μ = 5 minuten

Daarom schaalparameter, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Daarom kan de exponentiële kansverdelingsfunctie worden afgeleid als,

f (x) = 0,20 e - 0,20 * x

Bereken nu de waarschijnlijkheidsfunctie bij verschillende waarden van x om de verdelingskromme af te leiden.

Voor x = 0

exponentiële kansverdelingsfunctie voor x = 0 zal zijn,

Bereken op dezelfde manier de exponentiële kansverdelingsfunctie voor x = 1 tot x = 30

  • Voor x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
  • Voor x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • Voor x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • Voor x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Voor x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • Voor x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • Voor x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • Voor x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • Voor x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • Voor x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • Voor x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • Voor x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Voor x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Voor x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Voor x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • Voor x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Voor x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • Voor x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • Voor x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Voor x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Voor x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • Voor x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Voor x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Voor x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Voor x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Voor x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Voor x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Voor x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • Voor x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Voor x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Voor x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

We hebben de verdelingskromme als volgt afgeleid,

Relevantie en gebruik

Hoewel aan de aanname van een constante snelheid zeer zelden wordt voldaan in de praktijkscenario's, kan de exponentiële verdeling als een goed benaderend model worden gebruikt als het tijdsinterval zo wordt gekozen dat de snelheid ongeveer constant is. Het heeft vele andere toepassingen op het gebied van fysica, hydrologie, enz.

In statistieken en waarschijnlijkheidstheorie verwijst de uitdrukking van exponentiële verdeling naar de kansverdeling die wordt gebruikt om de tijd te definiëren tussen twee opeenvolgende gebeurtenissen die onafhankelijk en continu plaatsvinden met een constante gemiddelde snelheid. Het is een van de meest gebruikte continue distributies en is strikt gerelateerd aan de Poisson-distributie in Excel.