Formule om binominale verdeling te berekenen
Binominale verdelingsformule wordt gebruikt om de kans te berekenen dat x successen worden behaald in de n proeven van het binominale experiment die onafhankelijk zijn en de waarschijnlijkheid wordt afgeleid door een combinatie tussen het aantal proeven en het aantal successen vertegenwoordigd door nCx wordt vermenigvuldigd met de kans op het verhoogde succes tot de macht van het aantal successen vertegenwoordigd door px die verder wordt vermenigvuldigd met de waarschijnlijkheid van de mislukking, verhoogd tot de macht van het verschil tussen het aantal successen en het aantal proeven dat wordt vertegenwoordigd door (1-p) nx.
De kans om x successen te behalen in n onafhankelijke proeven van een binominaal experiment wordt gegeven door de volgende formule van binominale verdeling:
P (X) = n C x px (1-p) nx
waarbij p de kans op succes is
In de bovenstaande vergelijking wordt n C x gebruikt, wat niets anders is dan een combinatieformule. De formule om combinaties te berekenen wordt gegeven als n C x = n! / x! (nx)! waarbij n staat voor het aantal items (onafhankelijke proeven) en x staat voor het aantal items dat tegelijkertijd wordt gekozen (successen).
In het geval n = 1 in een binominale distributie, staat de distributie bekend als Bernoulli-distributie. Het gemiddelde van een binominale verdeling is np. De variantie van de binominale verdeling is np (1-p).
Berekening van de binominale verdeling (stap voor stap)
De berekening van de binominale verdeling kan worden afgeleid door de volgende vier eenvoudige stappen te gebruiken:
- Stap 1: Bereken de combinatie tussen het aantal proeven en het aantal successen. De formule voor n C x is waar n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Voor een getal n kan de faculteit van n worden geschreven als, n! = n * (n-1)! Bijvoorbeeld 5! is 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Stap 2: Bereken de kans op succes verhoogd tot de macht van het aantal successen dat px is.
- Stap 3: Bereken de faalkans verhoogd tot de kracht van het verschil tussen het aantal successen en het aantal proeven. De faalkans is 1-p. Dit verwijst dus naar het verkrijgen van (1-p) nx
- Stap 4: Ontdek het product van de resultaten die zijn verkregen in stap 1, stap 2 en stap 3.
Voorbeelden
U kunt dit Excel-sjabloon voor binominale distributieformule hier downloaden - Excel-sjabloon voor binominale distributieformuleVoorbeeld 1
Het aantal proeven (n) is 10. De kans op succes (p) is 0,5. Voer de berekening van de binominale verdeling uit om de kans te berekenen dat u precies 6 successen behaalt.
Oplossing:
Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de binominale verdeling.
Berekening van de binominale verdeling kan als volgt worden gedaan,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
De kans om precies 6 successen te behalen zal
P (x = 6) = 0,205
De kans om precies 6 successen te behalen is 0,2051
Voorbeeld # 2
Een manager van een verzekeringsmaatschappij neemt de gegevens door van verzekeringspolissen die zijn verkocht door onder hem werkende verzekeringsverkopers. Hij stelt vast dat 80% van de mensen die een autoverzekering afsluiten mannen zijn. Hij wil weten dat als 8 eigenaren van autoverzekeringen willekeurig worden geselecteerd, wat de kans is dat precies 5 van hen mannen zijn.
Oplossing: we moeten eerst uitzoeken wat n, p en x zijn.
Berekening van de binominale verdeling kan als volgt worden gedaan,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
De kans op precies 5 successen zal
P (x = 5) = 0,14680064
De kans dat precies 5 eigenaren van autoverzekeringen mannen zijn, is 0,14680064.
Voorbeeld # 3
Het ziekenhuismanagement is enthousiast over de introductie van een nieuw medicijn voor de behandeling van kankerpatiënten, aangezien de kans dat iemand er met succes door wordt behandeld, zeer groot is. De kans dat een patiënt met succes door het medicijn wordt behandeld, is 0,8. Het medicijn wordt aan 10 patiënten gegeven. Zoek de kans dat 9 of meer patiënten er met succes door worden behandeld.
Oplossing: we moeten eerst uitzoeken wat n, p en x is.
We moeten de kans vinden dat 9 of meer patiënten er met succes door worden behandeld. Dus 9 of 10 patiënten worden er met succes door behandeld
x (getal waarvoor je waarschijnlijkheid moet vinden) = 9 of x = 10
We moeten P (9) en P (10) vinden
Berekening van de binominale verdeling om P (x = 9) te vinden, kan als volgt worden gedaan,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2)
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Waarschijnlijkheid van 9 patiënten zullen
P (x = 9) = 0,2684
Berekening van de binominale verdeling om P (x = 10) te vinden, kan als volgt worden gedaan,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0,107374182 *
De kans op 10 patiënten zal
P (x = 10) = 0,1074
Daarom is P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
De kans dat 9 of meer patiënten met het medicijn worden behandeld, is dus 0,375809638.
Binominale distributiecalculator
U kunt de volgende binominale distributiecalculator gebruiken.
| n | |
| p | |
| X | |
| Binominale distributieformule = | |
| Binominale distributieformule = | n C x * px * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0-0 = | 0 |
Relevantie en gebruik
- Er zijn slechts twee uitkomsten
- De waarschijnlijkheid van elke uitkomst blijft constant van beproeving tot beproeving
- Er is een vast aantal proeven
- Elke proef is onafhankelijk, dwz wederzijds exclusief andere
- Het geeft ons de frequentieverdeling van het mogelijke aantal succesvolle resultaten in een bepaald aantal onderzoeken waarbij elk van deze gegeven onderzoeken dezelfde kans op succes heeft.
- Elke proef in een binominaal experiment kan slechts twee mogelijke uitkomsten opleveren. Daarom is de naam 'binominaal'. Een van deze uitkomsten staat bekend als succes en de andere als een mislukking. Mensen die ziek zijn, kunnen bijvoorbeeld wel of niet op een behandeling reageren.
- Evenzo kunnen we bij het opgooien van een munt slechts twee soorten uitkomsten hebben: kop of munt. De binominale distributie is een discrete distributie die in statistieken wordt gebruikt en die verschilt van een continue distributie.
Een voorbeeld van een binominaal experiment is het gooien van een munt, zeg maar driemaal. Als we een munt omdraaien, zijn er slechts 2 resultaten mogelijk: kop en munt. De kans op elk resultaat is 0,5. Aangezien de munt driemaal wordt gegooid, is het aantal beproevingen vastgesteld op 3. De waarschijnlijkheid van elke worp wordt niet beïnvloed door andere worpen.
Binominale distributie vindt zijn toepassingen in statistieken van de sociale wetenschappen. Het wordt gebruikt voor het ontwikkelen van modellen voor dichotome uitkomstvariabelen waarbij er twee uitkomsten zijn. Een voorbeeld hiervan is of Republikeinen of Democraten de verkiezingen zouden winnen.
Binominale distributieformule in Excel (met Excel-sjabloon)
Saurabh leerde op school over de binominale verdelingsvergelijking. Hij wil het concept met zijn zus bespreken en een weddenschap met haar aangaan. Hij dacht dat hij 10 keer een onbevooroordeelde munt zou gooien. Hij wil $ 100 inzetten om precies 5 staarten te krijgen in 10 worpen. Voor deze weddenschap wil hij de kans berekenen dat hij precies 5 staarten krijgt in 10 worpen.
Oplossing: we moeten eerst uitzoeken wat n, p en x is.
Er is een ingebouwde formule voor binominale distributie, namelijk Excel
Het is BINOM.DIST (aantal successen, proeven, een kans op succes, FALSE).
Voor dit voorbeeld van de binominale verdeling zou zijn:
= BINOM.VERD (B2, B3, B4, ONWAAR) waarbij cel B2 staat voor het aantal successen, cel B3 voor het aantal pogingen en cel B4 voor de kans op succes.
Daarom zal de berekening van de binominale distributie
P (x = 5) = 0,24609375
De kans om precies 5 staarten te krijgen in 10 worpen is 0,24609375
Opmerking: FALSE in de bovenstaande formule geeft de kansmassa-functie aan. Het berekent de kans dat er precies n successen zijn uit n onafhankelijke onderzoeken. TRUE geeft de cumulatieve verdelingsfunctie aan. Het berekent de kans dat er maximaal x successen zijn uit n onafhankelijke onderzoeken.
