Z Score-formule | Stapsgewijze berekening van de Z-score

Formule om de Z-score te berekenen

Z-score van onbewerkte gegevens verwijst naar de score die wordt gegenereerd door te meten hoeveel standaarddeviaties boven of onder het populatiegemiddelde de gegevens zijn, wat helpt bij het testen van de hypothese in kwestie. Met andere woorden, het is de afstand van een datapunt tot het populatiegemiddelde die wordt uitgedrukt als een veelvoud van de standaarddeviatie.

De z-scores variëren in het bereik van -3 keer de standaarddeviatie (uiterst links van de normale verdeling) tot +3 keer de standaarddeviatie (uiterst rechts van de normale verdeling).
De z-scores hebben een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1.

De vergelijking voor de z-score van een gegevenspunt wordt berekend door het populatiegemiddelde af te trekken van het gegevenspunt (aangeduid als x ) en vervolgens wordt het resultaat gedeeld door de standaarddeviatie van de populatie. Wiskundig wordt het weergegeven als,

Z-score = (x - μ) / ơ

waar

x = Datapunt
μ = gemiddelde
ơ = standaarddeviatie

Berekening van Z-score (stap voor stap)

De vergelijking voor z-score van een gegevenspunt kan worden afgeleid door de volgende stappen te gebruiken:

Stap 1: Bepaal eerst het gemiddelde van de dataset op basis van de datapunten of waarnemingen die worden aangeduid met x _i , terwijl het totale aantal datapunten in de dataset wordt aangeduid met N.

Stap 2: Bepaal vervolgens de standaarddeviatie van de populatie op basis van het populatiegemiddelde μ, datapunten x _i en het aantal datapunten in de populatie N.

Stap 3: Ten slotte wordt de z-score afgeleid door het gemiddelde van het gegevenspunt af te trekken en vervolgens wordt het resultaat gedeeld door de standaarddeviatie zoals hieronder weergegeven.

Voorbeelden

U kunt deze Excel-sjabloon voor Z-score-formule hier downloaden - Excel-sjabloon voor Z-score-formule

Voorbeeld 1

Laten we het voorbeeld nemen van een klas van 50 studenten die vorige week de wetenschappelijke toets hebben geschreven. Vandaag is de resultatendag en de klasleraar vertelde dat John 93 scoorde in de test terwijl de gemiddelde score van de klas 68 was. Bepaal de z-score voor John's testcijfer als de standaarddeviatie 13 is.

Oplossing:

Gegeven,

John's testscore, x = 93
Gemiddelde, μ = 68
Standaarddeviatie, ơ = 13

Daarom kan de z-score voor de testscore van John worden berekend met behulp van de bovenstaande formule als,

Z = (93 - 68) / 13

Z-score wordt -

Z-score = 1,92

Daarom is de Ztest-score van John 1,92 standaarddeviatie boven de gemiddelde score van de klas, wat betekent dat 97,26% van de klas (49 leerlingen) minder scoort dan John.

Voorbeeld # 2

Laten we nog een gedetailleerd voorbeeld nemen van 30 studenten (aangezien de z-test niet geschikt is voor minder dan 30 datapunten) die verschenen voor een klassetest. Bepaal de z-testscore voor de 4e leerling op basis van de cijfers die de leerlingen hebben gescoord op 100-55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.

Oplossing:

Gegeven,

x = 65,
4e student gescoord = 65,
Aantal datapunten, N = 30.

Gemiddelde = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30

Gemiddelde = 71,30

Nu kan de standaarddeviatie worden berekend met behulp van de onderstaande formule,

ơ = 13,44

Daarom kan de Z-score van de 4e student worden berekend met behulp van de bovenstaande formule als,

Z = (x - x) / s

Z = (65-30) / 13,44
Z = -0,47

Daarom is de score van de 4e leerling 0,47 standaarddeviatie onder de gemiddelde score van de klas, wat betekent dat 31,92% van de klas (10 leerlingen) minder scoorde dan de 4e leerling volgens de z-scoretabel.

Z-score in Excel (met Excel-sjabloon)

Laten we nu het geval in voorbeeld 2 nemen om het concept van z-score in de onderstaande Excel-sjabloon te illustreren.

Hieronder vindt u gegevens voor de berekening van de Z-score

U kunt het onderstaande Excel-blad raadplegen voor de gedetailleerde berekening van de Z-score-formule teststatistieken.

Relevantie en toepassingen

Vanuit het perspectief van hypothesetesten is z-score een zeer belangrijk concept om te begrijpen, omdat het wordt gebruikt om te testen of een teststatistiek al dan niet binnen het acceptabele waardebereik valt. De z-score wordt ook gebruikt om gegevens voorafgaand aan analyse te standaardiseren, de kans op een score te berekenen of twee of meer gegevenspunten die afkomstig zijn uit verschillende normale verdelingen te vergelijken. Er zijn de diverse toepassingen van z-score over velden, mits correct toegepast.