T Distributieformule

Formule om de T-verdeling van studenten te berekenen

De formule om de T-verdeling te berekenen (die ook in de volksmond bekend staat als Student's T-verdeling) wordt weergegeven als het populatiegemiddelde (gemiddelde van tweede steekproef) aftrekken van het steekproefgemiddelde (gemiddelde van eerste steekproef) dat is [x-bar - μ] dat wordt dan gedeeld door de standaarddeviatie van gemiddelden die in eerste instantie wordt gedeeld door de vierkantswortel van n, het aantal eenheden in die steekproef [s ÷ √ (n)].

De T-verdeling is een soort verdeling die bijna lijkt op de normale verdelingscurve of belcurve maar met een iets dikkere en kortere staart. Als de steekproefomvang klein is, wordt deze verdeling gebruikt in plaats van de normale verdeling.

Waar,

  • x† is het steekproefgemiddelde
  • μ is het populatiegemiddelde
  • s is de standaarddeviatie
  • n is de grootte van het gegeven monster

Berekening van T-distributie

De berekening van de t-verdeling van de student is vrij eenvoudig, maar ja, de waarden zijn vereist. Men heeft bijvoorbeeld het populatiegemiddelde nodig, wat het universum-gemiddelde is dat niets anders is dan het gemiddelde van de populatie, terwijl het steekproefgemiddelde vereist is om de authenticiteit van het populatiegemiddelde te testen of de bewering die op basis van de populatie wordt geclaimd inderdaad waar is en een eventuele steekproef. zal dezelfde verklaring vertegenwoordigen. Dus de t-verdelingsformule trekt hier het steekproefgemiddelde af van het populatiegemiddelde en deelt het vervolgens door standaarddeviatie en vermenigvuldigt met de vierkantswortel van de steekproefomvang om de waarde te standaardiseren.

Omdat er echter geen bereik is voor de berekening van de t-verdeling, kan de waarde raar worden en kunnen we de kans niet berekenen, omdat de t-verdeling van studenten beperkingen heeft om tot een waarde te komen en daarom is het alleen nuttig voor een kleinere steekproefomvang. Ook om de waarschijnlijkheid na het bereiken van de score te berekenen, moet men de waarde ervan vinden uit de t-verdelingstabel van de student.

Voorbeelden

U kunt deze T Distribution Excel-sjabloon hier downloaden - T Distribution Excel-sjabloon

Voorbeeld 1

Bedenk dat de volgende variabelen u worden gegeven:

  • Bevolkingsgemiddelde = 310
  • Standaarddeviatie = 50
  • Grootte van de steekproef = 16
  • Steekproefgemiddelde = 290

Bereken de t-distributiewaarde.

Oplossing:

Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de T-verdeling.

De berekening van de T-verdeling kan dus als volgt worden gedaan-

Hier worden alle waarden gegeven, we hoeven alleen de waarden op te nemen.

We kunnen de t-verdelingsformule gebruiken

Waarde van t = (290 - 310) / (50 / √16)

T-waarde = -1,60

Voorbeeld # 2

SRH Company beweert dat zijn medewerkers op analistenniveau gemiddeld $ 500 per uur verdienen. Er wordt een steekproef van 30 medewerkers op analistenniveau geselecteerd en hun gemiddelde verdiensten per uur waren $ 450 met een steekproefafwijking van $ 30 en in de veronderstelling dat hun bewering waar is, bereken dan de t-distributiewaarde die zal worden gebruikt om de waarschijnlijkheid voor t - te vinden. distributie.

Oplossing:

Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de T-verdeling.

De berekening van de T-verdeling kan dus als volgt worden gedaan-

Hier worden alle waarden gegeven, we hoeven alleen de waarden op te nemen.

We kunnen de t-verdelingsformule gebruiken

Waarde van t = (450 - 500) / (30 / √30)

T-waarde = -9,13

Daarom is de waarde voor de t-score -9,13

Voorbeeld # 3

Universal College Board had een IQ-niveautest afgenomen bij 50 willekeurig geselecteerde professoren. En het resultaat dat ze daaruit vonden, was dat de gemiddelde IQ-niveauscore 120 was met een variantie van 121. Stel dat de t-score 2,407 is. Wat is het populatiegemiddelde voor deze test dat de t-scorewaarde 2,407 zou rechtvaardigen?

Oplossing:

Gebruik de volgende gegevens voor de berekening van de T-verdeling.

Hier worden alle waarden gegeven samen met de t-waarde, we moeten deze keer het populatiegemiddelde berekenen in plaats van de t-waarde.

Nogmaals, we zouden de beschikbare gegevens gebruiken en de populatiegemiddelden berekenen door de waarden in de onderstaande formule in te voegen.

Het steekproefgemiddelde is 120, het populatiegemiddelde is onbekend, de standaarddeviatie van de steekproef is de vierkantswortel van de variantie die 11 zou zijn en de steekproefomvang is 50.

De berekening van het populatiegemiddelde (μ) kan dus als volgt worden gedaan:

We kunnen de t-verdelingsformule gebruiken

Waarde van t = (120 - μ) / (11 / √50)

2,407 = (120 - μ) / (11 / √50)

-μ = -2.407 * (11 / √50) -120

Bevolkingsgemiddelde (μ) zal -

μ = 116,26

Daarom is de waarde voor het populatiegemiddelde 116,26

Relevantie en gebruik

De T-verdeling (en de bijbehorende t-scores) wordt gebruikt bij het testen van hypothesen wanneer men moet uitzoeken of men de nulhypothese moet verwerpen of accepteren.

In de bovenstaande grafiek is het centrale gebied het acceptatiegebied en het staartgebied het afwijzingsgebied. In deze grafiek, die een tweezijdige test is, is het blauw gearceerde het afwijzingsgebied. Het gebied in het staartgebied kan worden beschreven met de t-scores of met de z-scores. Neem een ​​voorbeeld, de afbeelding aan de linkerkant toont een gebied in de staarten van vijf procent (dat is 2,5% aan beide zijden). De z-score moet 1,96 zijn (waarbij de waarde uit de z-tabel wordt genomen), wat de standaarddeviaties van 1,96 van het gemiddelde of het gemiddelde vertegenwoordigt. De nulhypothese kan worden verworpen als de waarde van de z-score kleiner is dan de waarde van -1,96 of de waarde van de z-score groter is dan 1,96.

In het algemeen zal deze verdeling worden gebruikt zoals eerder beschreven als men een kleinere steekproefomvang heeft (meestal onder de 30) of als men niet weet wat de populatievariantie of de standaarddeviatie van de populatie is. Voor praktische doeleinden (dat is in de echte wereld), zou dit vrijwel altijd het geval zijn. Als de omvang van de verstrekte steekproef groot genoeg is, zullen de 2 verdelingen praktisch gelijk zijn.